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余弦定理

余弦定理とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。
余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。
単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。

ある角の余角に対する正弦を余弦という。
余角とは、対となる角と自身の大きさの和が直角になるような角をいい、たとえば直角三角形の 2 つの鋭角のうち一方は他方の余角となっている。
このとき余弦とは注目する角の余角の対辺をいう。
鋭角に対する余弦関数はこの余弦の長さを与える。

余弦関数 y = cos x は、π を円周率 とすると 0 < x < π において狭義単調減少関数であり、x と y の値は 1 対 1 に対応させることができ、それらの関係は x = arccos y と余弦関数の逆関数を用いて表すことができる。
三角形の内角の大きさはこの逆余弦関数の値域に収まるため、三角形の内角の大きさを知ることと、その余弦の長さを知ることは同じことである。
余弦定理は三角形の内角の余弦と辺の長さの関係を示す等式である。

△ABC において、a = BCb = CAc = ABα = ∠CABβ = ∠ABCγ = ∠BCA としたとき

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = c2 + a2 − 2ca cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

が成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。

余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理である。
このことは三角形の合同条件に対応している。
逆に 3 つの辺の長さが分かっていれば

のように余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。

Published in 備忘録